- 正規分布で$\mu = 0,\ \sigma^2 = 1$の場合は、標準正規分布である。変換§正規分布#標準化も参照。〔標準正規分布〕
ギルバートハウス › 確率分布チートシート › 特別な場合と極限の場合
特別な場合
正規分布の関連分布
指数分布とガンマ分布の関連分布
- 指数分布で$\lambda = 1$の場合は、標準指数分布である。変換§指数分布#標準化も参照。〔標準指数分布〕
- ガンマ分布で$\alpha = 1$の場合は、指数分布である。$\text{Gamma}(1,\ \beta)$は$\text{Exp}(\lambda = \beta)$と等しい。〔ガンマ分布と指数分布〕
- ガンマ分布で$\beta = \frac{1}{2}$の場合は、カイ2乗分布である。$\text{Gamma}\!\left(\alpha,\ \frac{1}{2}\right)$は$\chi^2(\nu = 2\alpha)$と等しい。〔ガンマ分布とカイ2乗分布〕
- カイ2乗分布で$\nu = 2$の場合は、指数分布である。$\chi^2(2)$は$\text{Exp}\!\left(\frac{1}{2}\right)$と等しい。〔カイ2乗分布と指数分布〕
一様分布とベータ分布の関連分布
- 一様分布で$a = 0,\ b = 1$の場合は、標準一様分布である。変換§一様分布#標準化も参照。〔標準一様分布〕
- ベータ分布で$\alpha = 1,\ \beta = 1$の場合は、標準一様分布である。$\text{Beta}(1,\ 1)$は$\text{U}(0,\ 1)$と等しい。〔ベータ分布と標準一様分布〕
コーシー分布の関連分布
- コーシー分布で$x_0 = 0,\ \gamma = 1$の場合は、標準コーシー分布である。変換§コーシー分布#標準化も参照。〔標準コーシー分布〕
- t分布で$\nu = 1$の場合は、標準コーシー分布である。$t(1)$は$\text{Cauchy}(0,\ 1)$と等しい。〔t分布と標準コーシー分布〕
二項分布の関連分布
- 二項分布で$n = 1$の場合は、ベルヌーイ分布である。$\text{B}(1,\ p)$は$\text{Bernoulli}(p)$と等しい。〔二項分布とベルヌーイ分布〕
- 超幾何分布で$n = 1$の場合は、ベルヌーイ分布である。$\text{Hyper}(1,\ N,\ K)$は$\text{Bernoulli}\!\left(p = \frac{K}{N}\right)$と等しい。〔超幾何分布とベルヌーイ分布〕
負の二項分布の関連分布
- 負の二項分布で$r = 1$の場合は、幾何分布である。$\text{NB}(1,\ p)$は$\text{Geom}(p)$と等しい。〔負の二項分布と幾何分布〕
多変量正規分布の関連分布
- 多変量正規分布で$\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0},\ \boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{I}_m$の場合は、標準多変量正規分布である。〔標準多変量正規分布〕
多項分布の関連分布
- 多項分布で$n = 1$の場合は、カテゴリ分布である。$\text{Mult}(1,\ \boldsymbol{p})$は$\text{Cat}(\boldsymbol{p})$と等しい。〔多項分布とカテゴリ分布〕
- 多変量超幾何分布で$n = 1$の場合は、カテゴリ分布である。$\text{Hyper}(1,\ N,\ \boldsymbol{K})$は$\text{Cat}\!\left(\boldsymbol{p} = \frac{\boldsymbol{K}}{N}\right)$と等しい。〔多変量超幾何分布とカテゴリ分布〕
極限の場合
カイ2乗分布
t分布
- $X \sim t(\nu)$で$\nu$が大きくなるにつれて、$X$の分布は$\text{N}(0,\ 1)$に近づく。〔正規近似〕3
F分布
- $X \sim F(\nu_1,\ \nu_2)$で$\nu_2$が大きくなるにつれて、$\nu_1\,X$の分布は$\chi^2(\nu_1)$に近づく。〔カイ2乗近似〕3
ガンマ分布
- $X \sim \text{Gamma}(\alpha,\ \beta)$で$\alpha$が大きくなるにつれて、
- $X$の分布は$\text{N}\!\left(\mu = \frac{\alpha}{\beta},\ \sigma^2 = \frac{\alpha}{\beta^2}\right)$に近づく。〔正規近似〕1
- $\frac{\beta X - \alpha}{\sqrt{\alpha}}$の分布は$\text{N}(0,\ 1)$に近づく。〔標準正規近似〕
ベータ分布
二項分布
ポアソン分布
- $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$で$\lambda$が大きくなるにつれて、
- $X$の分布は$\text{N}(\mu = \lambda,\ \sigma^2 = \lambda)$に近づく。〔正規近似〕1
- $\frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}$の分布は$\text{N}(0,\ 1)$に近づく。〔標準正規近似〕
負の二項分布
- $X \sim \text{NB}(r,\ p)$で$r$が大きくなるにつれて、
- $X$の分布は$\text{N}\!\left(\mu = \frac{rq}{p},\ \sigma^2 = \frac{rq}{p^2}\right)$に近づく。ただし、$q = 1 - p$である。〔正規近似〕1
- $\frac{pX - rq}{\sqrt{rq}}$の分布は$\text{N}(0,\ 1)$に近づく。〔標準正規近似〕
- $X \sim \text{NB}(r,\ p)$で$p$が0に向かうにつれて、$pX$の分布は$\text{Gamma}(\alpha = r,\ 1)$に近づく。〔ガンマ近似〕4
- $X \sim \text{NB}(r,\ p)$で、$r\,(1 - p)$が一定のもとで$r$が大きくなるにつれて、$X$の分布は$\text{Poisson}(\lambda = r\,(1 - p))$に近づく。〔ポアソン近似〕4
幾何分布
- $X \sim \text{Geom}(p)$で$p$が0に向かうにつれて、$pX$の分布は$\text{Exp}(1)$に近づく。〔指数近似〕証明
超幾何分布
- $X \sim \text{Hyper}(n,\ N,\ K)$で、$\frac{K}{N}$が一定のもとで$N$が大きくなるにつれて、$X$の分布は$\text{B}\!\left(n,\ p = \frac{K}{N}\right)$に近づく。〔二項近似〕3
多項分布
- $\boldsymbol{X} \sim \text{Mult}(n,\ \boldsymbol{p})$で$n$が大きくなるにつれて、$\boldsymbol{X}$の分布は$\text{N}(\boldsymbol{\mu} = \text{E}(\boldsymbol{X}),\ \boldsymbol{\Sigma} = \text{Var}(\boldsymbol{X}))$に近づく。〔多変量正規近似〕5
$\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_m)$の期待値と共分散行列は以下の式で表される。- 期待値
- $\text{E}(\boldsymbol{X}) = n\boldsymbol{p}$
- 共分散行列の対角成分
- $\text{Var}(X_i) = np_i\,(1 - p_i)$
- 共分散行列の非対角成分
- $\text{Cov}(X_i, X_j) = -np_i\,p_j$
多変量超幾何分布
- $\boldsymbol{X} \sim \text{Hyper}(n,\ N,\ \boldsymbol{K})$で、$\frac{\boldsymbol{K}}{N}$が一定のもとで$N$が大きくなるにつれて、$\boldsymbol{X}$の分布は$\text{Mult}\!\left(n,\ \boldsymbol{p} = \frac{\boldsymbol{K}}{N}\right)$に近づく。〔多項近似〕6
- 中心極限定理より。
- Statistical Methods for Research Workers (1925)が原典か。
- Leemis and McQueston. Univariate Distribution Relationships.
- John D. Cook. "Notes on the negative binomial distribution" (PDF).
- 多変量中心極限定理より。
- Kyle Siegrist. "The Multivariate Hypergeometric Distribution". Random.