| 表記 | $\text{N}(\mu,\ \sigma^2)$ | ||
|---|---|---|---|
| 実現値 | $x \in \mathbf{R}$ | ||
| パラメータ | 平均$\mu \in \mathbf{R}$ 分散$\sigma^2 \in (0, +\infty)$ |
平均$\mu \in \mathbf{R}$ 標準偏差$\sigma \in (0, +\infty)$ |
平均$\mu \in \mathbf{R}$ 精度$\tau \in (0, +\infty)$ |
| （変換） | － | $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ | $\tau = \frac{1}{\sigma^2}$ |
ギルバートハウス › 確率分布チートシート › 表記とパラメータ化
正規分布
Normal Distribution
対数正規分布
Lognormal Distribution
| 表記 | $\text{Lognorm}(\mu,\ \sigma^2)$ |
|---|---|
| 実現値 | $x \in (0, +\infty)$ |
| パラメータ | 対数の平均$\mu \in \mathbf{R}$ 対数の分散$\sigma^2 \in (0, +\infty)$ |
カイ2乗分布
Chi-Squared Distribution
| 表記 | $\chi^2(\nu)$ |
|---|---|
| 実現値 | $x \in [0, +\infty)$ |
| パラメータ | 自由度$\nu \in \{1, 2, \ldots\}$ |
t分布
Student's t-Distribution
| 表記 | $t(\nu)$ |
|---|---|
| 実現値 | $x \in \mathbf{R}$ |
| パラメータ | 自由度$\nu \in \{1, 2, \ldots\}$ |
F分布
F-Distribution
| 表記 | $F(\nu_1,\ \nu_2)$ |
|---|---|
| 実現値 | $x \in [0, +\infty)$ |
| パラメータ | （分子の）自由度$\nu_1 \in \{1, 2, \ldots\}$ （分母の）自由度$\nu_2 \in \{1, 2, \ldots\}$ |
指数分布
Exponential Distribution
| 表記 | $\text{Exp}(\lambda)$ | |
|---|---|---|
| 実現値 | $x \in [0, +\infty)$ | |
| パラメータ | レートパラメータ$\lambda \in (0, +\infty)$ | スケールパラメータ$\beta \in (0, +\infty)$ |
| （変換） | － | $\beta = \frac{1}{\lambda}$ |
ガンマ分布
Gamma Distribution
| 表記 | $\text{Gamma}(\alpha,\ \beta)$ | |
|---|---|---|
| 実現値 | $x \in [0, +\infty)$ | |
| パラメータ | 形状パラメータ$\alpha \in (0, +\infty)$ レートパラメータ$\beta \in (0, +\infty)$ |
形状パラメータ$k \in (0, +\infty)$ スケールパラメータ$\theta \in (0, +\infty)$ |
| （変換） | － | $k = \alpha$ $\theta = \frac{1}{\beta}$ |
一様分布
Uniform Distribution
| 表記 | $\text{U}(a,\ b)$ |
|---|---|
| 実現値 | $x \in [a, b]$ |
| パラメータ | 下限$a \in \mathbf{R}$ 上限$b \in \mathbf{R}$ $a \lt b$とする。 |
ベータ分布
Beta Distribution
| 表記 | $\text{Beta}(\alpha,\ \beta)$ |
|---|---|
| 実現値 | $x \in [0, 1]$ |
| パラメータ | 形状パラメータ$α \in (0, +\infty)$ 形状パラメータ$\beta \in (0, +\infty)$ |
コーシー分布
Cauchy Distribution
| 表記 | $\text{Cauchy}(x_0,\ \gamma)$ |
|---|---|
| 実現値 | $x \in \mathbf{R}$ |
| パラメータ | 位置パラメータ$x_0 \in \mathbf{R}$ スケールパラメータ$\gamma \in (0, +\infty)$ |
パレート分布
Pareto Distribution
| 表記 | $\text{Pareto}(x_\mathrm{m},\ \alpha)$ |
|---|---|
| 実現値 | $x \in [x_\mathrm{m}, +\infty)$ |
| パラメータ | スケールパラメータ$x_\mathrm{m} \in (0, +\infty)$ 形状パラメータ$\alpha \in (0, +\infty)$ |
二項分布
Binomial Distribution
| 表記 | $\text{B}(n,\ p)$ |
|---|---|
| 実現値 | $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$ |
| パラメータ | 試行回数$n \in \{0, 1, \ldots\}$ 成功確率$p \in (0, 1)$ |
ベルヌーイ分布
Bernoulli Distribution
| 表記 | $\text{Bernoulli}(p)$ |
|---|---|
| 実現値 | $k \in \{0, 1\}$ |
| パラメータ | 成功確率$p \in (0, 1)$ |
ポアソン分布
Poisson Distribution
| 表記 | $\text{Poisson}(\lambda)$ |
|---|---|
| 実現値 | $k \in \{0, 1, \ldots\}$ |
| パラメータ | 平均$\lambda \in (0, +\infty)$ |
負の二項分布
Negative Binomial Distribution
| 表記 | $\text{NB}(r,\ p)$ | $\text{NB}_\text{[number-of-trials]}(r,\ p)$ |
|---|---|---|
| 実現値 | $k \in \{0, 1, \ldots\}$ | $k \in \{r, r + 1, \ldots\}$ |
| パラメータ | 成功回数$r \in \{1, 2, \ldots\}$ 成功確率$p \in (0, 1)$ |
成功回数$r \in \{1, 2, \ldots\}$ 成功確率$p \in (0, 1)$ |
幾何分布
Geometric Distribution
| 表記 | $\text{Geom}(p)$ | $\text{Geom}_\text{[number-of-trials]}(p)$ |
|---|---|---|
| 実現値 | $k \in \{0, 1, \ldots\}$ | $k \in \{1, 2, \ldots\}$ |
| パラメータ | 成功確率$p \in (0, 1)$ | 成功確率$p \in (0, 1)$ |
超幾何分布
Hypergeometric Distribution
| 表記 | $\text{Hyper}(n,\ N,\ K)$ | |
|---|---|---|
| 実現値 | $k \in \{0, 1, \ldots, n\}$ $k \leq K$の制約、$n - k \leq N - K$の制約にしたがう。 |
|
| パラメータ | 試行回数$n \in \{0, 1, \ldots, N\}$ 要素数$N \in \{0, 1, \ldots\}$ 成功要素数$K \in \{0, 1, \ldots, N\}$ |
試行回数$n \in \{0, 1, \ldots, K + M\}$ 成功要素数$K \in \{0, 1, \ldots\}$ 失敗要素数$M \in \{0, 1, \ldots\}$ |
| （変換） | － | $M = N - K$ |
多変量正規分布
Multivariate Normal Distribution
| 表記 | $\text{N}(\boldsymbol{\mu},\ \boldsymbol{\Sigma})$ | |
|---|---|---|
| 実現値 | $\boldsymbol{x} \in \mathbf{R}^m$ | |
| パラメータ | 平均$\boldsymbol{\mu} \in \mathbf{R}^m$ 共分散行列$\boldsymbol{\Sigma} \in \mathbf{R}^{(m, m)}$ $\boldsymbol{\Sigma}$は正定値対称行列とする。 |
平均$\boldsymbol{\mu} \in \mathbf{R}^m$ 精度行列$\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \in \mathbf{R}^{(m, m)}$ $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$は正定値対称行列とする。 |
ディリクレ分布
Dirichlet Distribution
| 表記 | $\text{Dirichlet}(\boldsymbol{\alpha})$ |
|---|---|
| 実現値 | $\boldsymbol{x} = (x_1, \ldots, x_m);\ x_i \in [0, 1]$ $\sum_i x_i = 1$の制約にしたがう。 |
| パラメータ | 形状パラメータ$\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_m);\ \alpha_i \in (0, +\infty)$ |
多項分布
Multinomial Distribution
| 表記 | $\text{Mult}(n,\ \boldsymbol{p})$ |
|---|---|
| 実現値 | $\boldsymbol{k} = (k_1, \ldots, k_m);\ k_i \in \{0, 1, \ldots, n\}$ $\sum_i k_i = n$の制約にしたがう。 |
| パラメータ | 試行回数$n \in \{0, 1, \ldots\}$ カテゴリ確率$\boldsymbol{p} = (p_1, \ldots, p_m);\ p_i \in (0, 1)$ $\sum_i p_i = 1$とする。 |
カテゴリ分布
Categorical Distribution
| 表記 | $\text{Cat}(\boldsymbol{p})$ |
|---|---|
| 実現値 | $\boldsymbol{k} = (k_1, \ldots, k_m);\ k_i \in \{0, 1\}$ $\sum_i k_i = 1$の制約にしたがう。 |
| パラメータ | カテゴリ確率$\boldsymbol{p} = (p_1, \ldots, p_m);\ p_i \in (0, 1)$ $\sum_i p_i = 1$とする。 |
多変量超幾何分布
Multivariate Hypergeometric Distribution
| 表記 | $\text{Hyper}(n,\ N,\ \boldsymbol{K})$ |
|---|---|
| 実現値 | $\boldsymbol{k} = (k_1, \ldots, k_m);\ k_i \in \{0, 1, \ldots, n\}$ $k_i \leq K_i$の制約、$\sum_i k_i = n$の制約にしたがう。 |
| パラメータ | 試行回数$n \in \{0, 1, \ldots, N\}$ 要素数$N \in \{0, 1, \ldots\}$ カテゴリ要素数$\boldsymbol{K} = (K_1, \ldots, K_m);\ K_i \in \{0, 1, \ldots, N\}$ $\sum_i K_i = N$とする。 |