確率密度関数が定数関数なので自明と思われるが、一応証明を示す。

「$X$が$\text{U}(a,\ b)$にしたがうとき、$a', b'$を実数（$a \leq a' \lt b' \leq b$を満たす）として、$(X \mid a' \leq X \leq b')$は$\text{U}(a',\ b')$にしたがう。」

　$X \sim \text{U}(a,\ b)$の確率密度関数は \begin{align} f_X(x) = \frac{1}{b - a} \tag{1} \end{align} である。

　$a' \leq X \leq b'$のときの$X$の確率密度関数は \begin{align} f_{X \mid a' \leq X \leq b'}(x) &= \frac{f_X(x)}{\int_{a'}^{b'} f_X(x)\,dx} \\ &= \frac{\frac{1}{b - a}}{\left[\frac{x}{b - a}\right]_{a'}^{b'}} \\ &= \frac{1}{b' - a'} \tag{2} \end{align} となり、これは式(1)の一様分布の確率密度関数で$a = a',\ b = b'$としたものである。

　よって、$a' \leq X \leq b'$のときの$X$は$\text{U}(a',\ b')$にしたがう。□

「$X$が$\text{Pareto}(x_\mathrm{m},\ \alpha)$にしたがうとき、$s$を実数（$s \geq x_\mathrm{m}$を満たす）として、$(X \mid X \geq s)$は$\text{Pareto}(x_\mathrm{m} = s,\ \alpha)$にしたがう。」

　$X \sim \text{Pareto}(x_\mathrm{m},\ \alpha)$の確率密度関数は \begin{align} f_X(x) = \frac{\alpha {x_\mathrm{m}}^{\alpha}}{x^{\alpha + 1}} \tag{1} \end{align} である。

　$X \geq s$のときの$X$の確率密度関数は \begin{align} f_{X \mid X \geq s}(x) &= \frac{f_X(x)}{\int_{s}^{+\infty} f_X(x)\,dx} \\ &= \frac{\frac{\alpha {x_\mathrm{m}}^{\alpha}}{x^{\alpha + 1}}}{\left[-\left(\frac{x_\mathrm{m}}{x}\right)^\alpha\right]_{s}^{+\infty}} \\ &= \frac{\alpha s^{\alpha}}{x^{\alpha + 1}} \tag{2} \end{align} となり、これは式(1)のパレート分布の確率密度関数で$x_\mathrm{m} = s$としたものである。

　よって、$X \geq s$のときの$X$は$\text{Pareto}(x_\mathrm{m} = s,\ \alpha)$にしたがう。□

　離散確率変数の条件付き分布は次のように定義される。 \begin{align} \text{P}(X = x \mid W = w) = \frac{\text{P}(\{X = x\} \cap \{W = w\})}{\text{P}(W = w)} \tag{1} \end{align}

「$X$が$\text{B}(n_X,\ p)$に、$Y$が$\text{B}(n_Y,\ p)$に独立にしたがうとき、$(X \mid X + Y = w)$は$\text{Hyper}(n = w,\ N = n_X + n_Y,\ K = n_X)$にしたがう。」

　$X$は$\text{B}(n_X,\ p)$に、$Y$は$\text{B}(n_Y,\ p)$に独立にしたがう。このとき、$X + Y$は$\text{B}(n_X + n_Y,\ p)$にしたがう。（$X$と$X + Y$、$Y$と$X + Y$は独立ではない。）

　$X + Y$の値を固定（条件付け）したときの$X$の分布について考える。

　式(1)より、 \begin{align} \text{P}(X = k \mid X + Y = w) &= \frac{\text{P}(\{X = k\} \cap \{X + Y = w\})}{\text{P}(X + Y = w)} \\ &= \frac{\text{P}(\{X = k\} \cap \{Y = w - k\})}{\text{P}(X + Y = w)} \\ &= \frac{\text{P}(X = k)\,\text{P}(Y = w - k)}{\text{P}(X + Y = w)} \tag{2} \end{align} となる。式変形の中で、$\{X = k\} \cap \{X + Y = w\}$と$\{X = k\} \cap \{Y = w - k\}$が同等なこと、$X$と$Y$の独立性を用いた。

　式(2)に、$X, Y, X + Y$の確率関数 \begin{align} \begin{cases} \text{P}(X = k) &= \binom{n_X}{k}\,p^{k}\,(1 - p)^{n_X - k} \\ \text{P}(Y = w - k) &= \binom{n_Y}{w - k}\,p^{w - k}\,(1 - p)^{n_Y - (w - k)} \\ \text{P}(X + Y = w) &= \binom{n_X + n_Y}{w}\,p^w\,(1 - p)^{(n_X + n_Y) - w} \end{cases} \tag{3} \end{align} をそれぞれ代入して整理すると、 \begin{align} \text{P}(X = k \mid X + Y = w) = \frac{\binom{n_X}{k} \binom{n_Y}{w - k}}{\binom{n_X + n_Y}{w}} \tag{4} \end{align} のようになる。式(4)の右辺は、超幾何分布の確率関数で$n = w,\ N = n_X + n_Y,\ K = n_X$としたものである。

　よって、$X + Y = w$と固定したときの$X$は$\text{Hyper}(n = w,\ N = n_X + n_Y,\ K = n_X)$にしたがう。□

「$X_1, \ldots, X_n$がそれぞれ$\text{B}(n_i,\ p)$に独立にしたがうとき、$W = \sum_i X_i$とすると、$(X_1, \ldots, X_n \mid W = w)$は$\text{Hyper}(n = w,\ N = n_1 + \cdots + n_n,\ \boldsymbol{K} = (n_1, \ldots, n_n))$にしたがう。」

　導出の過程は省略する。（二項分布で和を固定した条件付き分布と同様のため。）

　式が煩雑にならないよう3変量の場合を示すと、 \begin{align} \text{P}(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{k} \mid W = w) = \frac{\binom{n_1}{k_1}\binom{n_2}{k_2}\binom{n_3}{k_3}}{\binom{n_1 + n_2 + n_3}{w}} \tag{1} \end{align} のようになる。式(1)の右辺は、多変量超幾何分布の確率関数で$n = w,\ N = n_1 + n_2 + n_3,\ \boldsymbol{K} = (n_1, n_2, n_3)$としたものである。

　よって、$W = X_1 + X_2 + X_3 = w$と固定したときの$(X_1, X_2, X_3)$は$\text{Hyper}(n = w,\ N = n_1 + n_2 + n_3,\ \boldsymbol{K} = (n_1, n_2, n_3))$にしたがう。□

　離散確率変数の条件付き分布は次のように定義される。 \begin{align} \text{P}(X = x \mid W = w) = \frac{\text{P}(\{X = x\} \cap \{W = w\})}{\text{P}(W = w)} \tag{1} \end{align}

「$X$が$\text{Poisson}(\lambda_X)$に、$Y$が$\text{Poisson}(\lambda_Y)$に独立にしたがうとき、$(X \mid X + Y = w)$は$\text{B}\!\left(n = w,\ p = \frac{\lambda_X}{\lambda_X + \lambda_Y}\right)$にしたがう。」

　$X$は$\text{Poisson}(\lambda_X)$に、$Y$は$\text{Poisson}(\lambda_Y)$に独立にしたがう。このとき、$X + Y$は$\text{Poisson}(\lambda_X + \lambda_Y)$にしたがう。（$X$と$X + Y$、$Y$と$X + Y$は独立ではない。）

　$X + Y$の値を固定（条件付け）したときの$X$の分布について考える。

　式(1)より、 \begin{align} \text{P}(X = k \mid X + Y = w) &= \frac{\text{P}(\{X = k\} \cap \{X + Y = w\})}{\text{P}(X + Y = w)} \\ &= \frac{\text{P}(\{X = k\} \cap \{Y = w - k\})}{\text{P}(X + Y = w)} \\ &= \frac{\text{P}(X = k)\,\text{P}(Y = w - k)}{\text{P}(X + Y = w)} \tag{2} \end{align} となる。式変形の中で、$\{X = k\} \cap \{X + Y = w\}$と$\{X = k\} \cap \{Y = w - k\}$が同等なこと、$X$と$Y$の独立性を用いた。

　式(2)に、$X, Y, X + Y$の確率関数 \begin{align} \begin{cases} \text{P}(X = k) &= \frac{{\lambda_X}^k}{k!}\,e^{-\lambda_X} \\ \text{P}(Y = w - k) &= \frac{{\lambda_Y}^{w - k}}{(w - k)!}\,e^{-\lambda_Y} \\ \text{P}(X + Y = w) &= \frac{(\lambda_X + \lambda_Y)^w}{w!}\,e^{-(\lambda_X + \lambda_Y)} \end{cases} \tag{3} \end{align} をそれぞれ代入して整理すると、 \begin{align} \text{P}(X = k \mid X + Y = w) &= \frac{w!}{k!\,(w-k)!} \cdot \frac{{\lambda_X}^k\,{\lambda_Y}^{w - k}}{(\lambda_X + \lambda_Y)^w} \\ &= \binom{w}{k} \left(\frac{\lambda_X}{\lambda_X + \lambda_Y}\right)^k \left(\frac{\lambda_Y}{\lambda_X + \lambda_Y}\right)^{w - k} \tag{4} \end{align} のようになる。式(4)の右辺は、二項分布の確率関数で$n = w,\ p = \frac{\lambda_X}{\lambda_X + \lambda_Y}$としたものである。

　よって、$X + Y = w$と固定したときの$X$は$\text{B}\!\left(n = w,\ p = \frac{\lambda_X}{\lambda_X + \lambda_Y}\right)$にしたがう。□

「$X_1, \ldots, X_n$がそれぞれ$\text{Poisson}(\lambda_i)$に独立にしたがうとき、$W = \sum_i X_i$とすると、$(X_1, \ldots, X_n \mid W = w)$は$\text{Mult}\!\left(n = w,\ \boldsymbol{p} = \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \cdots + \lambda_n}, \ldots, \frac{\lambda_n}{\lambda_1 + \cdots + \lambda_n}\right)\right)$にしたがう。」

　導出の過程は省略する。（ポアソン分布で和を固定した条件付き分布と同様のため。）

　式が煩雑にならないよう3変量の場合を示すと、 \begin{align} \text{P}(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{k} \mid W = w) = \binom{w}{k_1, k_2, k_3}\,{p_1}^{k_1}\,{p_2}^{k_2}\,{p_3}^{k_3} \tag{1} \end{align} のようになる。ただし、$p_i = \frac{\lambda_i}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}$である。式(1)の右辺は、多項分布の確率関数で$n = w,\ \boldsymbol{p} = (p_1, p_2, p_3)$としたものである。

　よって、$W = X_1 + X_2 + X_3 = w$と固定したときの$(X_1, X_2, X_3)$は$\text{Mult}(n = w,\ \boldsymbol{p} = (p_1, p_2, p_3))$にしたがう。□

　離散確率変数の条件付き分布は次のように定義される。 \begin{align} \text{P}(X = x \mid W = w) = \frac{\text{P}(\{X = x\} \cap \{W = w\})}{\text{P}(W = w)} \tag{1} \end{align}

「$X$が$\text{NB}(r_X,\ p)$に、$Y$が$\text{NB}(r_Y,\ p)$に独立にしたがうとき、$(X \mid X + Y = w)$は$\text{BetaBin}(n = w,\ \alpha = r_X,\ \beta = r_Y)$にしたがう。」

　$X$は$\text{NB}(r_X,\ p)$に、$Y$は$\text{NB}(r_Y,\ p)$に独立にしたがう。このとき、$X + Y$は$\text{NB}(r_X + r_Y,\ p)$にしたがう。（$X$と$X + Y$、$Y$と$X + Y$は独立ではない。）

　$X + Y$の値を固定（条件付け）したときの$X$の分布について考える。

　式(1)より、 \begin{align} \text{P}(X = k \mid X + Y = w) &= \frac{\text{P}(\{X = k\} \cap \{X + Y = w\})}{\text{P}(X + Y = w)} \\ &= \frac{\text{P}(\{X = k\} \cap \{Y = w - k\})}{\text{P}(X + Y = w)} \\ &= \frac{\text{P}(X = k)\,\text{P}(Y = w - k)}{\text{P}(X + Y = w)} \tag{2} \end{align} となる。式変形の中で、$\{X = k\} \cap \{X + Y = w\}$と$\{X = k\} \cap \{Y = w - k\}$が同等なこと、$X$と$Y$の独立性を用いた。

　式(2)に、$X, Y, X + Y$の確率関数 \begin{align} \begin{cases} \text{P}(X = k) &= \binom{k + r_X - 1}{k}\,(1 - p)^k\,p^{r_X} \\ \text{P}(Y = w - k) &= \binom{(w - k) + r_Y - 1}{w - k}\,(1 - p)^{w - k}\,p^{r_Y} \\ \text{P}(X + Y = w) &= \binom{w + (r_X + r_Y) - 1}{w}\,(1 - p)^w\,p^{r_X + r_Y} \end{cases} \tag{3} \end{align} をそれぞれ代入して整理すると、 \begin{align} \text{P}(X = k \mid X + Y = w) &= \frac{\binom{k + r_X - 1}{k} \binom{(w - k) + r_Y - 1}{w - k}}{\binom{w + (r_X + r_Y) - 1}{w}} \\ &= \binom{w}{k} \frac{\mathrm{B}(k + r_X, (w - k) + r_Y)}{\mathrm{B}(r_X, r_Y)} \tag{4} \end{align} のようになる。ただし、$\mathrm{B}(x, y)$はベータ関数で、 \begin{align} \mathrm{B}(x, y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x + y)} \end{align} と定義される。式(4)の右辺は、ベータ二項分布の確率関数で$n = w,\ \alpha = r_X,\ \beta = r_Y$としたものである。

　よって、$X + Y = w$と固定したときの$X$は$\text{BetaBin}(n = w,\ \alpha = r_X,\ \beta = r_Y)$にしたがう。□

「$X_1, \ldots, X_n$がそれぞれ$\text{NB}(r_i,\ p)$に独立にしたがうとき、$W = \sum_i X_i$とすると、$(X_1, \ldots, X_n \mid W = w)$は$\text{DirichletMult}(n = w,\ \boldsymbol{\alpha} = (r_1, \ldots, r_n))$にしたがう。」

　導出の過程は省略する。（負の二項分布で和を固定した条件付き分布と同様のため。）

　式が煩雑にならないよう3変量の場合を示すと、 \begin{align} \text{P}(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{k} \mid W = w) = \binom{w}{k_1, k_2, k_3} \frac{\mathrm{B}(k_1 + r_1, k_2 + r_2, k_3 + r_3)}{\mathrm{B}(r_1, r_2, r_3)} \tag{1} \end{align} のようになる。ただし、$\mathrm{B}(x_1, \ldots, x_n)$は多変量ベータ関数で、 \begin{align} \mathrm{B}(x_1, \ldots, x_n) = \frac{\Gamma(x_1) \cdots \Gamma(x_n)}{\Gamma(x_1 + \cdots + x_n)} \end{align} と定義される。式(1)の右辺は、ディリクレ多項分布の確率関数で$n = w,\ \boldsymbol{\alpha} = (r_1, r_2, r_3)$としたものである。

　よって、$W = X_1 + X_2 + X_3 = w$と固定したときの$(X_1, X_2, X_3)$は$\text{DirichletMult}(n = w,\ \boldsymbol{\alpha} = (r_1, r_2, r_3))$にしたがう。□

「$X$が$\text{Geom}_\text{[number-of-trials]}(p)$にしたがうとき、$n$を非負の整数として、$(X - n \mid X \gt n)$は$\text{Geom}_\text{[number-of-trials]}(p)$にしたがう。」

　$X \sim \text{Geom}_\text{[number-of-trials]}(p)$の離散累積分布関数は \begin{align} \text{P}(X \leq k) &= 1 - (1 - p)^{k} \tag{1} \end{align} である。

　$X \gt n$のときに$X \gt k + n$である確率は次のようになる。 \begin{align} \text{P}(X \gt k + n \mid X \gt n) &= \frac{\text{P}(\{X \gt k + n\} \cap \{X \gt n\})}{\text{P}(X \gt n)} \\ &= \frac{\text{P}(X \gt k + n)}{\text{P}(X \gt n)} \\ &= \frac{1 - \text{P}(X \leq k + n)}{1 - \text{P}(X \leq n)} \\ &= \frac{(1 - p)^{k + n}}{(1 - p)^n} \\ &= (1 - p)^{k} \tag{2} \end{align}

　したがって、 \begin{align} \text{P}(X - n \leq k \mid X \gt n) &= \text{P}(X \leq k + n \mid X \gt n) \\ &= 1 - \text{P}(X \gt k + n \mid X \gt n) \\ &= 1 - (1 - p)^{k} \tag{3} \end{align} となり、これは式(1)の試行回数を数える幾何分布の離散累積分布関数そのものである。

　よって、$X \gt n$のときの$X - n$は$\text{Geom}_\text{[number-of-trials]}(p)$にしたがう。□

「$\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_m)$が$\text{Dirichlet}(\boldsymbol{\alpha})$にしたがうとき、$X_i$は$\text{Beta}(\alpha_i,\ \alpha_1 + \cdots + \alpha_m - \alpha_i)$にしたがう。」

　変換§ガンマ分布#構成比のとおり、$\beta$が共通の独立なガンマ確率変数の構成比 \begin{align} \boldsymbol{X} = \left(\frac{\varGamma_1}{\sum_i \varGamma_i}, \ldots, \frac{\varGamma_m}{\sum_i \varGamma_i}\right) \tag{1} \end{align} はディリクレ分布にしたがう。

　$X_1$に注目すると、 \begin{align} X_1 &= \frac{\varGamma_1}{\sum_i \varGamma_i} \\ &= \frac{\varGamma_1}{\varGamma_1 + (\varGamma_2 + \cdots + \varGamma_m)} \tag{2} \end{align} である。

　式(2)の右辺で、$\varGamma_1$と$\varGamma_2 + \cdots + \varGamma_m$が独立なこと、$\varGamma_2 + \cdots + \varGamma_m$が$\text{Gamma}(\alpha_2 + \cdots + \alpha_m,\ \beta)$にしたがうことから、$X_1$は$\text{Beta}(\alpha_1,\ \alpha_2 + \cdots + \alpha_m)$にしたがう。

　以上の議論は任意の$X_i$に対しても添字だけ変えて成り立つ。□

「ディリクレ分布で成分をグループに分けて、グループごとに集約（成分を合計）した分布はディリクレ分布になる。成分の添字の集合$\{1, \ldots, m\}$を部分集合に分割したものを$A_1, \ldots, A_l$で表し、$Y_1, \ldots, Y_l$をそれぞれ$Y_j = \sum_{i \in A_j} X_i$とすると、$(Y_1, \ldots, Y_l)$は$\text{Dirichlet}(\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_{Y_1}, \ldots, \alpha_{Y_l}))$にしたがう。ただし、$\alpha_{Y_j} = \sum_{i \in A_j} \alpha_i$である。」

　変換§ガンマ分布#構成比のとおり、$\beta$が共通の独立なガンマ確率変数の構成比 \begin{align} \boldsymbol{X} = \left(\frac{\varGamma_1}{\sum_i \varGamma_i}, \ldots, \frac{\varGamma_m}{\sum_i \varGamma_i}\right) \tag{1} \end{align} はディリクレ分布にしたがう。

　$X_{m - 1}$と$X_m$を足し合わせて集約した場合を考えると、 \begin{align} \boldsymbol{Y} = \left(\frac{\varGamma_1}{\sum_i \varGamma_i}, \ldots, \frac{\varGamma_{m - 1} + \varGamma_m}{\sum_i \varGamma_i}\right) \tag{3} \end{align} となる。

　式(3)の右辺で、$\varGamma_1, \ldots, \varGamma_{m - 1} + \varGamma_m$が独立なこと、$\varGamma_{m - 1} + \varGamma_m$が$\text{Gamma}(\alpha_{m - 1} + \alpha_m,\ \beta)$にしたがうことから、$\boldsymbol{Y}$は$\text{Dirichlet}(\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_{m - 1} + \alpha_m))$にしたがう。

　以上の議論は任意のグループ化で集約した場合でも同様である。□

　合成分布（無条件分布）§二項分布#ベータ分布合成で$n = 1$の場合である。

　$n = 1$の場合のベータ二項分布は、確率変数の値が0か1かなので、ベルヌーイ分布である。

　ベータ二項分布の確率関数は \begin{align} \text{P}(X = k) = \binom{n}{k} \frac{\mathrm{B}(k + \alpha, n - k + \beta)}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)} \tag{1} \end{align} である。ただし、$\mathrm{B}(x, y)$はベータ関数で次のとおり定義される。 \begin{align} \mathrm{B}(x, y) = \frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x + y)} \end{align}

　$n = 1$のとき式(1)は、 \begin{align} \text{P}(X = k) = \frac{\mathrm{B}(k + \alpha, 1 - k + \beta)}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)} \tag{2} \end{align} となる。$X$の値を1とすると、 \begin{align} \text{P}(X = 1) &= \frac{\mathrm{B}(1 + \alpha, \beta)}{\mathrm{B}(\alpha, \beta)} \\ &= \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha + \beta + 1)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)} \\ &= \frac{\alpha}{\alpha + \beta} \tag{3} \end{align} となり、これはベルヌーイ分布の確率関数で$p = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$としたものである。□

　合成分布（無条件分布）§多項分布#ディリクレ分布合成で$n = 1$の場合である。

　$n = 1$の場合のディリクレ多項分布は、確率変数（ベクトル）の値が基本ベクトルなので、カテゴリ分布である。

　ディリクレ多項分布の確率関数は \begin{align} \text{P}(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{k}) = \binom{n}{k_1, \ldots, k_m} \frac{\mathrm{B}(k_1 + \alpha_1, \ldots, k_m + \alpha_m)}{\mathrm{B}(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)} \tag{1} \end{align} である。ただし、$\mathrm{B}(x_1, \ldots, x_n)$は多変量ベータ関数で次のとおり定義される。 \begin{align} \mathrm{B}(x_1, \ldots, x_n) = \frac{\Gamma(x_1) \cdots \Gamma(x_n)}{\Gamma(x_1 + \cdots + x_n)} \end{align}

　$n = 1$のとき式(1)は、 \begin{align} \text{P}(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{k}) = \frac{\mathrm{B}(k_1 + \alpha_1, \ldots, k_m + \alpha_m)}{\mathrm{B}(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)} \tag{2} \end{align} となる。$\boldsymbol{X}$の成分の値を$i$番目だけ1、他は0とすると、 \begin{align} \text{P}(\boldsymbol{X} = \boldsymbol{e}_i) &= \frac{\mathrm{B}(\alpha_1, \ldots, 1 + \alpha_i, \ldots, \alpha_m)}{\mathrm{B}(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)} \\ &= \frac{\Gamma(\alpha_i + 1)}{\Gamma(\alpha_1 + \cdots + \alpha_m + 1)} \cdot \frac{\Gamma(\alpha_1 + \cdots + \alpha_m)}{\Gamma(\alpha_i)} \\ &= \frac{\alpha_i}{\alpha_1 + \cdots + \alpha_m} \tag{3} \end{align} となり、これはカテゴリ分布の確率関数で$\boldsymbol{p} = \frac{\boldsymbol{\alpha}}{\alpha_1 + \cdots + \alpha_m}$としたものである。□