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ウィーナー過程

標準ウィーナー過程の標本路

　ランダム生成した標本路を表示しています。ページ読み込みのたびに再計算されるので、グラフの見た目が変化します。

コード（生成箇所）

const deltaT = 1.0 / 256.0;
const sqrtDeltaT = 1.0 / 16.0;
let w1 = 0.0, w2 = 0.0, w3 = 0.0, w4 = 0.0;
wienerProcessPathsData.addRow([0.0, w1, w2, w3, w4]);
/* while t <= 2.0 */
for (let i = 1; i <= 512; i++) {
    w1 += rnorm(0.0, sqrtDeltaT);
    w2 += rnorm(0.0, sqrtDeltaT);
    w3 += rnorm(0.0, sqrtDeltaT);
    w4 += rnorm(0.0, sqrtDeltaT);
    wienerProcessPathsData.addRow([i * deltaT, w1, w2, w3, w4]);
}
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ガウスランダムウォークとウィーナー過程

  • ガウスランダムウォークは、ステップごとの増減が正規分布（ガウス分布）にしたがう離散時間・連続状態の確率過程である。
    • $X_0 = 0$
    • $G_i \sim \text{N}(0,\ \sigma^2)$として、$X_i = X_{i - 1} + G_i$
  • ガウスランダムウォークで
    • 1ステップの経過時間を$\Delta t$
    • ステップごとの増減の分散を$\Delta t\,\sigma^2$
    とすると、時間あたりの増減の分散は$\Delta t$によらず$\sigma^2$（一定）に保たれる。数学的な厳密性を抜きにすれば、$\Delta t \to 0$で連続時間・連続状態の確率過程となり、これがウィーナー過程である。$\sigma^2$はウィーナー過程のパラメータで、分散率と呼ばれる。$\sigma^2 = 1$なら標準ウィーナー過程である。
  • $\{X(t),\ t \in [0, +\infty)\}$が分散率$\sigma^2$のウィーナー過程にしたがうとき、
    • 任意の$t_1, t_2$（ただし、$0 \leq t_1 \lt t_2$）に対して、$X(t_2) - X(t_1)$は$\text{N}(0,\ (t_2 - t_1)\,\sigma^2)$にしたがう。〔定常増分性（正規分布）〕
    • 任意の$t_1, \ldots, t_n$（ただし、$0 \leq t_1 \lt \cdots \lt t_n$）に対して、$X(t_1), X(t_2) - X(t_1), \ldots, X(t_n) - X(t_{n - 1})$は独立である。〔独立増分性〕
    • $t \mapsto X(t)$は確率1で連続である。〔確率連続性〕
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