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円周・球面上の一様分布

球と球体

$n - 1$次元球とは、$\mathbf{R}^n$空間で中心点からのユークリッド距離が等しい点の集合である。1次元球は円、2次元球は普通の球である。内側の領域を含まないことを強調して、円を円周、球を球面とも呼ぶ。対して、$n - 1$次元球によって囲まれる領域を$n$次元球体という。

円周・球面上の一様分布は、あらゆる方向の実現確率が等しい円周・球面上の確率分布である。分布が一様とは、部分領域に対する確率が領域の位置に無関係で、その大きさに比例することを表す。
円周上の一様分布の偏角$\theta$についての確率密度関数は以下の式で表される。
- $f_\varTheta(\theta) = \frac{1}{2\pi}$
  単位円の弧の長さ$l = \theta$より、積分値（確率）は円周上の長さに比例する。
球面上の一様分布の角座標（極角$\theta$と方位角$\varphi$）についての確率密度関数は以下の式で表される。
- $f_{\varTheta, \varPhi}(\theta, \varphi) = \frac{\sin \theta}{4\pi}$
  単位球の面積要素$dS = \sin \theta\,d\theta\,d\varphi$より、積分値（確率）は球面上の面積に比例する。

$U$が$\text{U}(0,\ 1)$に、$\boldsymbol{X}$が$m - 1$次元の単位球面上の一様分布に独立にしたがうとき、$U^{1/m}\,\boldsymbol{X}$は$m$次元の単位球体内の一様分布にしたがう。〔球体内の一様分布〕¹
なお、$U^{1/m}$は$\text{Beta}(\alpha = m,\ 1)$にしたがう。

$\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_l, \ldots, X_m)$が$m - 1$次元の単位球面上の一様分布にしたがうとき、
- ${X_1}^2 + \cdots + {X_m}^2 = 1$がつねに成り立つ。〔成分の平方和（完全）〕
- ${X_1}^2 + \cdots + {X_l}^2$は$\text{Beta}\!\left(\alpha = \frac{l}{2},\ \beta = \frac{m - l}{2}\right)$にしたがう。〔成分の平方和（不完全）〕¹

$\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_m)$が$m - 1$次元の単位球面上の一様分布にしたがうとき、$X_i$はベータ型の分布にしたがう。〔周辺分布〕^証明
- $X_i$は$\text{Beta}\!\left(\alpha = \frac{m - 1}{2},\ \beta = \frac{m - 1}{2},\ {-1},\ 1\right)$にしたがう。※$\text{Beta}(\alpha,\ \beta,\ a,\ b)$は$[a, b]$上のベータ分布を表す。
- 言い換えれば、$\frac{X_i + 1}{2}$は$\text{Beta}\!\left(\alpha = \frac{m - 1}{2},\ \beta = \frac{m - 1}{2}\right)$にしたがう。
$\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_m)$が$m - 1$次元の単位球面上の一様分布にしたがうとき、$(X_1, \ldots, X_{m - 2})$は$m - 2$次元の単位球体内の一様分布にしたがう。〔成分消去法〕²

$\boldsymbol{X}$が$\mathbf{R}^m$空間で球対称な分布にしたがうとき、$\lVert\boldsymbol{X}\rVert$を$\boldsymbol{X}$のユークリッド長さとすると、$\frac{\boldsymbol{X}}{\lVert\boldsymbol{X}\rVert}$は単位球面上の一様分布にしたがう。〔正規化〕
$\boldsymbol{X} = (X_1, \ldots, X_m)$が球対称な分布にしたがうとき、$\frac{X_i}{X_j}$（ただし、$i \neq j$）は$\text{Cauchy}(0,\ 1)$にしたがう。〔成分の比〕³
独立な標準正規確率変数の比は、$\text{N}(\mathbf{0},\ \mathbf{I}_2)$が円対称なことから、この特別な場合にあたる。