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ランベルトのW関数

公開日:2015年4月9日

更新日:2015年4月9日

 ランベルトのW関数、またはオメガ関数、またはProduct Log関数についてのメモ。

定義と表記

 関数$f(x) = xe^x$の逆関数をランベルトのW関数といい、$W(x)$で表します。

\[ y = xe^x \Longleftrightarrow x = W(y) \]

特殊な値

 正確には下の図で分かるように、$f(x) = xe^x$の単調増加区間に対応する$W_0(x)$と、単調減少区間に対応する$W_{-1}(x)$があります。

W(x)のグラフ

↑グレーは$y = xe^x$、ピンクは$y = W_0(x)$、ブルーは$y = W_{-1}(x)$のグラフ

方程式を解く!

 超越方程式$e^{-ax} = bx + c$(ただし、$a \neq 0,\ b \neq 0$)を、$x$に対して解いてみます。

 まず、$X = ax + \frac{ac}{b}$とおくと、$x = \frac{X}{a} - \frac{c}{b}$となり、これを方程式に代入。

\[ e^{-a\left(\frac{X}{a} - \frac{c}{b}\right)} = b\left(\frac{X}{a} - \frac{c}{b}\right) + c \\ \Leftrightarrow e^{-X}e^{\frac{ac}{b}} = \frac{b}{a}\,X \\ \Leftrightarrow \frac{a}{b}\,e^{\frac{ac}{b}} = Xe^{X} \\ \Leftrightarrow X = W\!\left(\frac{a}{b}\,e^{\frac{ac}{b}}\right) \\ \Leftrightarrow ax + \frac{ac}{b} = W\!\left(\frac{a}{b}\,e^{\frac{ac}{b}}\right) \\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{a}\,W\!\left(\frac{a}{b}\,e^{\frac{ac}{b}}\right) - \frac{c}{b} \]

関係する関数

 関数$f(x) = x\log x$の逆関数を、W関数を使って表すことができます。

\[ y = x\log x \\ \Leftrightarrow e^y = x^x \\ \Leftrightarrow e^\frac{y}{x} = x \\ \Leftrightarrow \frac{y}{x}\,e^\frac{y}{x} = y \\ \Leftrightarrow \frac{y}{x} = W(y) \\ \Leftrightarrow x = \frac{y}{W(y)} \]

よって、

\[ f^{-1}(x) = \frac{x}{W(x)} \]

x/W(x)のグラフ

↑グレーは$y = x\log x$、グリーンは$y = x/W_0(x)$、オレンジは$y = x/W_{-1}(x)$のグラフ

例えばこんな応用

 下は酵素反応におけるミカエリス‐メンテンの式です。(いきなり生物・薬学系寄りに!)

\[ v = \frac{V_{\rm max}[{\rm S}]}{K_{\rm m} + [{\rm S}]} \]

 $v$は反応速度、$[{\rm S}]$は基質濃度で、$\frac{d[{\rm S}]}{dt} = -v$の関係から、微分方程式$\frac{d[{\rm S}]}{dt} = -\frac{V_{\rm max}[{\rm S}]}{K_{\rm m} + [{\rm S}]}$が得られます。

 以下、式を見やすくするため、文字を数学風に変更……。

\[ \frac{dS}{dt} = -\frac{aS(t)}{b + S(t)} \\ \Leftrightarrow \frac{b + S(t)}{S(t)}\,dS = -a\,dt \\ \Leftrightarrow \left(\frac{b}{S(t)} + 1\right)dS = -a\,dt \\ \Leftrightarrow \int\left(\frac{b}{S(t)} + 1\right)dS = -a\int dt \\ \Leftrightarrow b\log S(t) + S(t) = -at + C \\ \Leftrightarrow \log S(t) + \frac{S(t)}{b} = \frac{-at + C}{b} \]

両辺を$e$の肩に乗せ、

\[ \Leftrightarrow S(t)\,e^{\frac{S(t)}{b}} = e^{\frac{-at + C}{b}} \\ \Leftrightarrow \frac{S(t)}{b}\,e^{\frac{S(t)}{b}} = \frac{1}{b}\,e^{\frac{-at + C}{b}} \\ \Leftrightarrow \frac{S(t)}{b} = W\!\left(\frac{1}{b}\,e^{\frac{-at + C}{b}}\right) \\ \Leftrightarrow S(t) = bW\!\left(\frac{1}{b}\,e^{\frac{-at + C}{b}}\right) \]

なお積分定数は、

\[ C = b\log S(0) + S(0) \]
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